Тема: Нестандартная занятость. Учебная работа № 396399

Учебная работа № 396399. Тема: Нестандартная занятость

Выдержка из подобной работы

…….

Нестандартный анализ

…..зным и при
развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с
мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам
территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом
нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.

Однако, быть
может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык
нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических
моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать
важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас
многие специалисты по математической физике активно используют нестандартный
анализ в своей работе.

Несколько
примеров нестандартного анализа:

Пример 1. 
Вычислим производную функции  . Дадим аргументу x      приращение dx,
перейдя от точки x к точке  x+dx. Выясним, насколько при этом
изменилось значение функции. В точке  х  оно равнялось  . В точке    оно  равняется . Таким образом, оно изменилось на  . Отношение приращения  функции  к приращению аргумента равно

Если бесконечно мало, то членом  в сумме  можно пренебречь, и
искомая производная равна .

Пример 2. 
Вычислим аналогичным способом производную функции . Приращение равно ; частное равно

.

Взяв бесконечно малым, получаем, что
производная равна

 .

Пример 5.  Построение
неизмеримого множества. Каждое действительное число , удовлетворяющее неравенству ,разлагаем в бесконечную
двоичную дробь; для обеспечения
однозначности запрещаем разложения с бесконечным числом идущих подряд единиц.
Фиксируем произвольное бесконечно большое натуральное число и отбираем те действительные числа
, у которых  -й
член разложения равен единице;
множество всех отобранных таким образом действительных чисел неизмеримо по
Лебегу.

Если примеры 1 и
2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью, но всё же в известной мере
соответствуют интуиции, то пример 5 представляется просто-напросто
абракадаброй.

Нестандартный
анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной абракадабры, имеющей в нём
точный математический смысл. Он позволяет, в частности, с новой точки зрения
посмотреть на многие рассуждения классиков математического анализа, кажущиеся
нестрогими, но приводящие к успеху, и путём относительно небольших уточнений
сделать их удовлетворяющими современным критериям строгости.

ЧТО 
ТАКОЕ  БЕСКОНЕЧНО  МАЛЫЕ ?

Один из наиболее
принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно
малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные.
Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно
малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся,
разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.

Итак, речь будет
идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное
число, если оно
меньше всех положительных чисел. Легко понять , что такого не бывает: если  больше нуля , то оно является одним из
положительных чисел , поэтому наше определение требует , чтобы число  было меньше самого себя.
Поэтому потребуем, чтобы  было
наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое  должно изобразиться самой
…